Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+5與x軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)．點(diǎn)P在這條拋物線上，且不與A、D兩點(diǎn)重合，過點(diǎn)P作y軸的平行線與射線AD交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QF垂直于y軸，點(diǎn)F在點(diǎn)Q的右側(cè)，且QF=2，以QF、QP為鄰邊作矩形QPEF．設(shè)矩形QPEF的周長(zhǎng)為d，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求這條拋物線的對(duì)稱軸將矩形QPEF的面積分為1：2兩部分時(shí)m的值．
（3）求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式及d隨m的增大而減小時(shí)d的取值范圍．
（4）當(dāng)矩形QPEF的對(duì)角線互相垂直時(shí)，直接寫出其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出函數(shù)對(duì)稱軸進(jìn)而得出m的值；
（3）分別利用當(dāng)1＜m＜6時(shí)，d=2（-m²+7m-6+2），當(dāng)m＞6時(shí)，d=2（m²-7m+6+2）求出d的取值范圍即可；
（4）當(dāng)矩形QPEF的對(duì)角線互相垂直時(shí)，則矩形QPEF是正方形，邊長(zhǎng)為2，進(jìn)而得出m的值求出答案．

解答 解：（1）把A（1，0）、B（5，0）代入y=ax²+bx+5，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+5=0}\\{25a+5b+5=0}\end{array}\right.$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=x²-6x+5；

（2）如圖所示：∵拋物線y=x²-6x+5的對(duì)稱軸為：x=-$\frac{2a}$=-$\frac{-6}{2}$=3，
∵這條拋物線的對(duì)稱軸將矩形QPEF的面積分為1：2兩部分，
可得PN=3-m，PE=2，
∴$\frac{3-m}{2}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{3-m}{2}$=$\frac{1}{3}$，
解得：m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{7}{3}$；

（3）當(dāng)x=6時(shí)，y=x²-6x+5=6²-6×6+5=5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，5）．
射線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x-1（x＞1）．
∴P（m，m²-6m+5），Q（m，m-1）．
當(dāng)1＜m＜6時(shí)，d=2（-m²+7m-6+2）=-2m²+14m-8，
當(dāng)m＞6時(shí)，d=2（m²-7m+6+2）=2m²-14m+16，
又d=-2m²+14m-8=-2（m-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{33}{2}$，
∴d隨m的增大而減小時(shí)d的取值范圍是4＜d≤$\frac{33}{2}$． 

（4）當(dāng)矩形QPEF的對(duì)角線互相垂直時(shí)，則矩形QPEF是正方形，邊長(zhǎng)為2，
當(dāng)1＜m＜6時(shí)，m-1-（m²-6m+5）=2，
整理得：m²-7m+8=0，
解得：m₁=$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，
當(dāng)m＞6時(shí)，m²-6m+5-（m-1）=2，
整理得：m²-7m+4=0，
解得：m₃=$\frac{7+\sqrt{33}}{2}$，m₄=$\frac{7-\sqrt{33}}{2}$（舍去），
故其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為：$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$+1=$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7+\sqrt{33}}{2}$+1=$\frac{9+\sqrt{33}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意表示出矩形QPEF的邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．