Question

如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，以BP為一邊作∠PBQ=60°且使BQ=BP，連接CQ
（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連接PQ，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠ABP=∠CBQ，即可證明△ABP≌△CBQ，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明；
（2）首先證明△PBQ是等邊三角形，然后利用勾股定理的逆定理證明△PCQ是直角三角形，據(jù)此即可求得∠BQC，則∠APB即可求解．

解答：解：（1）AP=CQ．
理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠ABP=∠CBQ BP=BQ

，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
（2）∵PA：PB：PC=3：4：5，
∴設(shè)PA=3x，則PB=4x，PC=5x，
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△BOQ是等邊三角形．
∴∠BQP=60°，PQ=BP=4x，
所以在△PQC中，PC²=PQ²+CQ²，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC=90°．
∴∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠BQC=150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)勾股定理的逆定理證明△PCQ是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．