Question

11．如圖，在以點O為原點的直角坐標系中，一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸交于A，與y軸交于點B，點C在第二象限內(nèi)且為直線AB上一點，OC=$\frac{1}{2}$AB，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點C，則k的值為-$\frac{11}{50}$．

Answer 1

分析 首先求出點A、B的坐標，然后由勾股定理求得AB，設(shè)∠BAO=θ，則sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，過點O作Rt△AOB斜邊上的高OE，斜邊上的中線OF，通過解直角三角形求得AE=OA•cosθ=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求得OF=$\frac{1}{2}$AB，從而求得OC=OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，進而求得AC=AE+EC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3\sqrt{5}}{10}$=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$．過點C作CG⊥x軸于點G，則CG=AC•sinθ=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{11}{10}$，AG=AC•cosθ=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{11}{5}$，從而求得C的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．

解答 解：如圖，在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令y=0，則x=2；令x=0，得y=1，
∴A（2，0），B（0，1）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{5}$．
設(shè)∠BAO=θ，則sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
過點O作Rt△AOB斜邊上的高OE，斜邊上的中線OF，則AE=OA•cosθ=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，OF=$\frac{1}{2}$AB，
∵OC=$\frac{1}{2}$AB，
∴OC=OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴EF=AE-AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．
∵OC=OF，OE⊥CF，
∴EC=EF=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴AC=AE+EC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3\sqrt{5}}{10}$=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$．
過點C作CG⊥x軸于點G，則CG=AC•sinθ=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{11}{10}$，
AG=AC•cosθ=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{11}{5}$，
∴OG=AG-OA=$\frac{11}{5}$-2=$\frac{1}{5}$．
∴C（-$\frac{1}{5}$，$\frac{11}{10}$）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點C，
∴k=-$\frac{1}{5}$×$\frac{11}{10}$=-$\frac{11}{50}$，
故答案為-$\frac{11}{50}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，其知識點：勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式等．