Question

19．（1）已知一元二次方程x²-4x+m=0有唯一實(shí)數(shù)根，求（$\frac{1}{m+2}$-$\frac{1}{m-2}$）÷$\frac{m}{{m}^{2}-4}$的值；
（2）小明是這樣完成“作∠MON的平分線”這項(xiàng)作業(yè)的：
“如圖，①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OM，ON于點(diǎn)A，B；②分別作線段OA，OB的垂直平分線l₁，l₂（垂足分別記為C，D），記l₁與l₂的交點(diǎn)為P；③作射線OP，則射線OP為∠MON的平分線．”
你認(rèn)為小明的作法正確嗎？如果正確，請(qǐng)你給證明，如果不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪里．

Answer 1

分析 （1）首先利用根的判別式得出m的值，進(jìn)而化簡(jiǎn)分式求出即可；
（2）利用全等三角形的判定方法得出Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），進(jìn)而得出射線OP是∠MON的平分線．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²-4x+m=0有唯一實(shí)數(shù)根，
∴（-4）²-4×1×m=0，
∴m=4，
（$\frac{1}{m+2}$-$\frac{1}{m-2}$）÷$\frac{m}{{m}^{2}-4}$
=$\frac{-4}{（m+2）（m-2）}$×$\frac{（m-2）（m+2）}{m}$
=-$\frac{4}{m}$，
將m=4代入原式得：原式=-1；

（2）小明的作法正確．
理由：由作法知：OA=OB，
又∵l₁，l₂垂分別是OA，OB的垂直平分線，垂足分別是C，D，
∴OC=OD，∠PCO=∠PDO=90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠POC=∠POD，
即射線OP是∠MON的平分線．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了基本作圖以及分式的化簡(jiǎn)求值和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確得出Rt△PCO≌Rt△PDO是解題關(guān)鍵．