Question

已知在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，點(diǎn)P是邊AC上的一個動點(diǎn)，∠APD=∠ABC，AD∥BC，聯(lián)結(jié)DC．
（1）如圖1，如果DC∥AB，求AP的長；
（2）如圖2，如果直線DC與邊BA的延長線交于點(diǎn)E，設(shè)AP=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如圖3，如果直線DC與邊BA的反向延長線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BP，當(dāng)△CPD與△CBF相似時，試判斷線段BP與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先證明△DPA∽△ABC，得出比例式

AP

BC

=

AD

AC

，即可求出AP=2；
（2）由（1）得出

AP

BC

=

AD

AC

，AD=2AP，再由AD∥BC，得出

AD

BC

=

AE

ED

，即可得出y=

8x

2-x

；
（3）由△CPD∽△CBF，得出

PD

BF

=

CP

BC

，得出

2x

y

=

8-x

4

①，再由AD∥BC，得

BC

AD

=

BF

AF

，得出

4

2x

=

y

y+8

②，由①②解得x、y的值，得出BP是△ACF的中位線，即可得出結(jié)論：BP=

1

2

CF．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
∵∠APD=∠ABC，
∴△DPA∽△ABC，
∴

AP

BC

=

AD

AC

，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=4，
∵AB=AC=8，
∴

AP

4

=

4

8

，
∴AP=2；
（2）由（1）得，

AP

BC

=

AD

AC

，
∴AD=2AP，
∵AD∥BC，
∴

AD

BC

=

AE

ED

，
∵AP=x，AE=y，
∴AD=2x，EB=y+8，
∴

2x

4

=

y

y+8

，
∴y=

8x

2-x

，它的定義域是0＜x＜2；
（3）BP=

1

2

CF；
∵∠APD=∠ABC，
∴∠DPC=∠FBC，
∵∠PCD＞∠F，又△CPD與△CBF相似，
∴∠PCD=∠BCE，
∴△CPD∽△CBF，
∴

PD

BF

=

CP

BC

，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠APD=∠ABC，∠DAP=∠ACB，
∴∠DAP=∠APD，
∴AD=PD，
設(shè)AP=x，BF=y，則AD=PD=2x，AF=y+8，
∴

2x

y

=

8-x

4

①，
∵AD∥BC，
∴

BC

AD

=

BF

AF

，
∴

4

2x

=

y

y+8

②，
由①②得：x=4，y=8，
∴AP=PC=4，AB=BF=8，
∴BP是△ACF的中位線，
∴BP=

1

2

CF．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線以及函數(shù)解析式的求法；證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．