Question

16．如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，AO的延長線交BC于點D，若AC=6，CD=2，則⊙O的半徑$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 首先證明四邊形CEOF是正方形．設(shè)圓O的半徑為r，則DE=2-r，OE=r，然后證明△OED∽△ACD，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求解即可．

解答 解：∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，
∴OF=OE，OF⊥AC，OE⊥BC，
又∵∠C=90°，
∴CEOF是正方形．
設(shè)圓O的半徑為r，則DE=2-r，OE=r．
∵CEOF是正方形，
∴OE∥AC．
∴△OED∽△ACD．
∴$\frac{OE}{AC}=\frac{ED}{CD}$即$\frac{r}{6}=\frac{2-r}{2}$．
解得：r=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、正方形的判定、切線的性質(zhì)，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于r的方程是解題的關(guān)鍵．