Question

1．如圖，平行四邊形ABCD，AB=CD=9，AD=BC=5，（AB∥CD，AD∥BC），CE⊥AB于E，并且BE=3，CE=4．
（1）請(qǐng)你以AB所在直線(xiàn)為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)．
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，當(dāng)x為何值時(shí)，線(xiàn)段PQ最短．
（3）在（2）的下，點(diǎn)P、Q出發(fā)多少秒時(shí)，PQ∥AD？請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，并說(shuō)明此時(shí)PQ∥AD的理由．

Answer 1

分析 （1）以AB所在直線(xiàn)為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)A、B、C、D的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可；
（2）當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，線(xiàn)段PQ最短，根據(jù)四邊形CEPQ是平行四邊形，得出CQ=PE，列出方程x=6-2x，求得x的值即可；
（3）當(dāng)AD∥PQ時(shí)，四邊形ADQP是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，DQ=AP，據(jù)此列出方程9-x=2x，求得x的值即可．

解答 解：（1）如圖所示，以AB所在直線(xiàn)為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

∵AB=CD=9，AD=BC=5，CE⊥AB于E，且BE=3，CE=4，
∴A（0，0），B（-9，0），C（-6，4），D（3，4）．

（2）由題可得，AP=2x，CQ=x，
∵AB=9，BE=3，
∴PE=6-2x，
∵如圖所示，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，線(xiàn)段PQ最短，
∴此時(shí)，PQ∥CE，
又∵CQ∥PE，
∴四邊形CEPQ是平行四邊形，
∴CQ=PE，
∴x=6-2x，
解得x=2，
∴當(dāng)x為2秒時(shí)，線(xiàn)段PQ最短．


（3）由題可得，AP=2x，CQ=x，
∵AB=CD=9，
∴DQ=9-x，
∵DQ∥AP，
∴如圖所示，當(dāng)AD∥PQ時(shí)，四邊形ADQP是平行四邊形，
此時(shí)，DQ=AP，
∴9-x=2x，
∴x=3，
∴點(diǎn)P、Q出發(fā)3秒時(shí)，PQ∥AD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，列出方程進(jìn)行求解．解題時(shí)注意：要證明兩直線(xiàn)平行和兩線(xiàn)段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線(xiàn)、線(xiàn)段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)�角的位置上，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．