Question

17．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊F處，已知折痕AE=5$\sqrt{5}$，且tan∠EFC=$\frac{3}{4}$．
（1）證明：△AFB∽△FEC．
（2）求矩形ABCD周長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質與折疊的性質，易證得∠ABC=∠ECF=90°，∠BAF=∠EFC，繼而證得△AFB∽△FEC；
（2）設FC=4xcm，EC=3xcm，繼而求得AF=10xcm，則可求得x的值，繼而求得答案．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∠ABC=∠ADC=∠ECF=90°．
∴∠AFE=∠ADE=90°，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
又∵∠AFB+∠FAB=90°，
∴∠FAB=∠EFC．
∴△AFB∽△FEC．

（2）∵tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{3}{4}$．
∴設FC=4xcm，EC=3xcm，
∴EF=5xcm，DE=EF=5xcm，AB=8xcm．
∵△AFB∽△FEC，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BF=6xcm．
AF=10xcm．
∴AF²+EF²=AE²=（5$\sqrt{5}$）²，
∴（10x）²+（5x）²=125．即x²=1．
∵x＞0，
∴x=1．
∴AB=8，BC=10，矩形ABCD的周長為36．

點評 此題考查了矩形的性質、勾股定理以及折疊的性質．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數(shù)形結合思想的應用．