Question

16．“如果二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根．”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關系是m＜a＜b＜n．

Answer 1

分析 依題意畫出函數(shù)y=（x-a）（x-b）圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解．

解答 解：依題意，畫出函數(shù)y=（x-a）（x-b）的圖象，如圖所示．
函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為a，b（a＜b）．
方程1-（x-a）（x-b）=0
轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=1，
方程的兩根是拋物線y=（x-a）（x-b）與直線y=1的兩個交點．
由m＜n，可知對稱軸左側(cè)交點橫坐標為m，右側(cè)為n．
由拋物線開口向上，則在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少，則有m＜a；在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，
則有b＜n．
綜上所述，可知m＜a＜b＜n．
故答案為：m＜a＜b＜n．

點評 本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．解題時，畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖象直觀形象地得出結(jié)論，避免了繁瑣復雜的計算．