Question

15．如圖，已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，△A′B′C′≌△ABC，BC與B′C′在同一直線上，點C與點B′重合（如圖1），現將△ABC沿射線B′C′以2個單位/秒的速度向上平移，設運動時間為t（s）．
（1）當0＜t＜4時，設AC與A′B′交于點D，求B′C•A′D的最大值；
（2）求當t為何值時，△A′B′C′與△ABC重疊部分的面積是18．

Answer 1

分析 （1）根據同角的三角函數表示出B′D、A′D，計算它們的積，并根據二次函數的頂點坐標求最值；
（2）重疊部分是三角形，根據（1）的值利用面積公式計算．

解答 解：（1）由題意得：B′C=2t，
則tan∠A=$\frac{BC}{AB}=\frac{B′C}{B′D}$，
∴$\frac{8}{6}=\frac{2t}{B′D}$，
∴B′D=$\frac{12t}{8}$=$\frac{3t}{2}$，
∴A′D=6-$\frac{3}{2}t$，
∴B′C•A′D=2t•（6-$\frac{3}{2}t$）=-3t²+12t=-3（t-2）²+12，
∵-3＜0，
∴B′C•A′D有最大值，
當t=2時，B′C•A′D最大值為12；
（2）S_重疊部分=S_△CB′D=$\frac{1}{2}$B′C•B′D=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{2}$t=18，
t²=12，
t=±2$\sqrt{3}$，
∵0＜t＜4，
∴t=2$\sqrt{3}$，
則當t為2$\sqrt{3}$時，△A′B′C′與△ABC重疊部分的面積是18．

點評 本題是三角形與二次函數的綜合問題，考查了動點問題中的路程、速度與時間的關系；本題把兩條線段的乘積的最值問題轉化為二次函數的最值問題，很容易就能求出結論．