Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于

1

2

MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①作出AD的依據(jù)是SAS；                ②∠ADC=60°
③點(diǎn)D在AB的中垂線上；                ④S_△DAC：S_△ABD=1：2．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—基本作圖,角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定作出AD的依據(jù)；
②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù)；
③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來(lái)求兩個(gè)三角形的面積之比．

解答：解：①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，作出AD的依據(jù)是SSS；
故①錯(cuò)誤；

②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=

1

2

∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正確；

③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上．
故③正確；

④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=

1

2

AD，
∴BC=CD+BD=

1

2

AD+AD=

3

2

AD，S_△DAC=

1

2

AC•CD=

1

4

AC•AD．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AC•

3

2

AD=

3

4

AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=

1

4

AC•AD：

3

4

AC•AD=1：3，
∴S_△DAC：S_△ABD=1：2．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：②③④，共有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖-基本作圖．解題時(shí)，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)．