Question

19．如圖1，矩形ABCD中，AB=6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng)，記PA=x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C₁、C₂兩段組成，如圖2所示．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）求圖2中C₂段圖象的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，求y的值．

Answer 1

分析 （1）由圖1和圖2直接確定出AD；
（2）先利用互余即可得出∠BAP=∠DGA，進(jìn)而判斷出△ABP∽△DGA即可確定出函數(shù)關(guān)系式；
（3）分三種情況利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出x的值，即可求出y的值．

解答 解：（1）如圖，
當(dāng)點(diǎn)P在AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到PA的距離不變，當(dāng)點(diǎn)P從B點(diǎn)向C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D到PA的距離在變化，
由圖2知，AD=10，

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABP=∠BAD=90°，
∵DG⊥AP，
∴∠AGD=90°，
∴∠ABP=∠DGA，
∵∠BAP+∠GAD=90°，∠CAG+∠ADG=90°，
∴∠BAP=∠DGA，
∴△ABP∽△DGA，
∴$\frac{AB}{DG}=\frac{AP}{AD}$，
∵AB=6，AP=x，DG=y，AD=10，
∴$\frac{6}{y}=\frac{x}{10}$，
∴y=$\frac{60}{x}$（6＜x≤2$\sqrt{34}$）；
即：圖2中C₂段圖象的函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{60}{x}$（6＜x≤2$\sqrt{34}$）；

（3）∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，BC=AD=10，∠ABC=∠DCB=90°，
當(dāng)AD=AP時(shí)，∵AD=10，
∴x=AP=10，
∴y=$\frac{60}{10}$=6，
當(dāng)AD=DP時(shí)，∴DP=10，
在Rt△DCP中，CD=AB=6，DP=10，
∴CP=8，
∴BP=BC-CP=2，
在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理得，x=AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{36+4}$=2$\sqrt{10}$，
∴y=$\frac{60}{x}$=$\frac{60}{2\sqrt{10}}$=3$\sqrt{10}$，
當(dāng)AP=DP時(shí)，點(diǎn)P是線段AD的垂直平分線，
∴點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD=5，
在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理得，x=AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{36+25}$=$\sqrt{61}$，
∴y=$\frac{60}{x}$=$\frac{60}{\sqrt{61}}$=$\frac{60\sqrt{61}}{61}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理線段垂直平分線定理，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ABP∽△DGA，解（3）的關(guān)鍵是分類討論的思想，是一道中等難度的題目．