Question

17．如圖，△ABC的垂心為H，AD⊥BC于D，點(diǎn)E在△ABC的外接圓上，且滿足$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}$，直線ED交外接圓于點(diǎn)M．求證：∠AMH=90°．

Answer 1

分析 作高BP，CQ．連結(jié)MB、MC、MP、MQ、PQ．構(gòu)建相似三角形△MBQ∽△MCP，從而推知點(diǎn)M、A、P、Q、H五點(diǎn)共圓，最后根據(jù)圓周角定理證得結(jié)論．

解答 證明：作高BP，CQ．連結(jié)MB、MC、MP、MQ、PQ． 
$\frac{BD}{DC}$=$\frac{{S}_{△BME}}{{S}_{△CME}}$
=$\frac{\frac{1}{2}BM•BE•sin∠MBE}{\frac{1}{2}CM•CE•sin∠MCE}$=$\frac{BM}{CM}$•$\frac{AB}{AC}$①
$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BQ}{CP}$•$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{BQ}{CP}$•$\frac{AB}{AC}$②
由①②得：$\frac{BM}{CM}$=$\frac{BQ}{CP}$，
又∵∠MBA=∠MCA，
∴△MBQ∽△MCP，
∴點(diǎn)M、A、P、Q四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)M、A、P、Q、H五點(diǎn)共圓，
又AH為直徑，
∴∠AMH=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了梅涅勞斯定理及塞瓦定理，掌握塞瓦定理與梅涅勞斯定理是解題的關(guān)鍵，不是初中教學(xué)內(nèi)容，難度較大．