Question

6．銳角△ABC中，已知∠B＞∠C，I為內(nèi)心，R為外接圓半徑，AD為邊BC上的高線，點K在直線AD上，滿足AK=2R，證明：∠KID=$\frac{∠B-∠C}{2}$．

Answer 1

分析 連接AI并延長交BC于E，交⊙O于T．連接CI、CT、，連接AO并延長交⊙O于M，連接MC、MT、KT．首先證明∠DAI=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），想辦法證明△KID∽△KAI，推出∴∠KID=∠DAT=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），即可解決問題．

解答 證明：連接AI并延長交BC于E，交⊙O于T．連接CI、CT、，連接AO并延長交⊙O于M，連接MC、MT、KT．
∵I是內(nèi)心，AD⊥BC，
∴∠CAI=∠BAI，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DAT=∠CAD-∠CAI=90°-∠ACB-$\frac{1}{2}$[180°-（∠B+∠ACB）]=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵∠CIT=∠CAJ+∠ACI，∠ICT=∠ICB+∠TCB，∠CAI=∠BAI=∠BCT，∠ACI=∠ICB，
∴∠ICT=∠CIT，
∴CT=IT，
∵∠CTI=∠CTA，∠ECT=∠CAT，
∴△TCE∽△TAC，
∴TC²=TE•TA，即TI²=TE•TA，
∵∠CAM=∠DAB，
∴∠TAM=∠DAT，∵AM=AK，AT=AT，
∴△AMT≌△AKT，
∴∠ATK=∠ATM=90°，TK=TM，
∵∠ETk+∠EDK=180°，
∴E、D、K、T四點共圓，
∴AD•AK=AE•AT，
∴AK²-AD•AK=AK²-AE•AT，即KD•AK=4R²-AE•AT，
∵IK²=IT²+TK²=TE•TA+MT²=TE•TA+AM²-AI²=AM²-（AT²-TE•TA）=4R²-AT•AE，
∴IK²=KD•AK，∵∠IKD=∠AKI，
∴△KID∽△KAI，
∴∠KID=∠DAT=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

點評 本題考查內(nèi)心、外心、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，題目比較難，條件的輔助線比較多，屬于競賽類題目．