Question

12．如圖，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（-2，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△AOP的面積為3？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)A（-2，0）分別代入函數(shù)關(guān)系式來(lái)求b、c的值，可得二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²-2x）．利用三角形的面積公式得到-x²-2x=±3．通過(guò)解方程來(lái)求x的值，則易求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）
∴c=0                             
又∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（-2，0）
∴-（-2）²-2b+0=0，
∴b=-2，
∴所求b、c值分別為-2，0
∴y=-x²-2x，

（2）存在一點(diǎn)P，滿足S_△AOP=3．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²-2x）
∵S_△AOP=3
∴$\frac{1}{2}×2×$|-x²-2x|=3
∴-x²-2x=±3
當(dāng)-x²-2x=3時(shí)，此方程無(wú)解；
當(dāng)-x²-2x=-3時(shí)，解得x₁=-3，x₂=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-3，-3）或（1，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)和利用待定系數(shù)法來(lái)求拋物線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²-2x）是解答此題的關(guān)鍵．