Question

20．已知直線y₁=x+b與拋物線y₂=-x²+ax+c的一個(gè)交點(diǎn)為（2，3），且x=1為該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸．
（1）求直線y₁=x+b的解析式和拋物線y₂=-x²+ax+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y₁=x+b及拋物線y₂=-x²+ax+c的圖象，并根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出使得y₁≤y₂的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線于x軸的右邊交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線y₁=x+b于點(diǎn)B，點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)S_△PAB≤6時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式求出b的值，確定出直線解析式，把交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得到a與c的關(guān)系式，再利用對(duì)稱(chēng)軸公式求出a的值，進(jìn)而求出c的值，確定出拋物線解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）畫(huà)出兩函數(shù)圖象，利用圖象找出使得y₁≤y₂的x取值范圍即可；
（3）根據(jù)題意確定出A與B坐標(biāo)，求出AB的長(zhǎng)，表示出AB邊上的高，進(jìn)而表示出三角形ABP面積，根據(jù)三角形ABP面積小于等于6求出x的范圍即可．

解答 解：（1）∵直線y₁=x+b與拋物線y₂=-x²+ax+c的一個(gè)交點(diǎn)為（2，3），
∴把交點(diǎn)（2，3）代入y₁=x+b，得：3=2+b，即b=1，
∴直線解析式為y₁=x+1；
把交點(diǎn)坐標(biāo)（2，3）代入拋物線y₂=-x²+ax+c得：-4+2a+c=3；
由對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，得到-$\frac{a}{2×（-1）}$=1，即a=2，
把a(bǔ)=2代入得：c=3，
∴拋物線y₂=-x²+2x+3，
則拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；
（2）令y₂=-x²+2x+3=0，解得：x₁=3，x₂=-1，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（-1，0），
畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示：

根據(jù)圖象可得使得y₁≤y₂的x范圍為-1≤x≤2；
（3）由（2）可得A（3，0），
令x=3，得到y(tǒng)₁=3+1=4，即B（3，4），即AB=4，
設(shè)P橫坐標(biāo)為x，S_△PAB的高為|3-x|，底為AB=4，
由S_△PAB≤6，得到$\frac{1}{2}$•|3-x|•4=2|3-x|≤6，
當(dāng)3-x≥0，即x≤3時(shí)，不等式變形得：3-x≤3，
解得：x≥0，此時(shí)x范圍為0≤x≤3；
當(dāng)3-x＜0，即x＞3時(shí)，不等式變形得：x-3≤3，
解得：x≤6，
此時(shí)x的范圍為3＜x≤6，
綜上，x的范圍為0≤x≤6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．