Question

12．在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，將一塊等腰直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)
（1）如圖1，三角尺的兩條直角邊分別交邊AC，BC于D，E兩點(diǎn)，求證：△PDE為等腰三角形．
（2）如圖2，三角尺的兩條直角邊分別交射線AC，射線CB于D，E兩點(diǎn)．（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明∠BPE=∠PCD，再由ASA證明△PBE≌△PCD，即可得出PE=PD；
（2）同（1），即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接CP，如圖1所示：
∵AC=BC，∠C=90°，P為斜邊的中點(diǎn)，
∴PC⊥AB，PC=$\frac{1}{2}$AB=PB，∠PCD=∠B=45°，
∴∠BPE+∠EPC=90°，∠DPC+∠EPC=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△PBE和△PCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PCD}&{\;}\\{PB=PC}&{\;}\\{∠BPE=∠DPC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PCD（ASA），
∴PE=PD，
即△PDE為等腰三角形；
（2）結(jié)論成立；理由如下：
連接CP，如圖所示：
由（1）得：∠BPE=∠PCD，∠PCD=90°+45°=135°，∠PBE=180°-45°=135°，
∴∠PCD=∠PBE，
同（1）可證：△PBE≌△PCD（ASA），
∴PE=PD，
即△PDE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．