Question

8．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合），且保持ED⊥FD，連接DE，DF，EF，在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：
①AE=CF；
②EF最大值為2$\sqrt{2}$；
③四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；
④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為$\sqrt{2}$．
其中結(jié)論正確的有①③④（把所有正確答案的序號(hào)都填寫在橫線上）

Answer 1

分析 ①作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，即可證得AE=CF；
②根據(jù)AE=CF，設(shè)CE=x，用含x的式子表示出CF的長，根據(jù)勾股定理，即可表示出EF的長，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，表示出EF的最小值；
③由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積保持不變；
④由①可知，DE=EF，可得△DEF是等腰直角三角形，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離．

解答 解：如圖，連接CD．
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=AD=BD，∠ADC=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠1+∠2=90°，
∵ED⊥FD，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF=45°}\\{AD=CD}\\{∠1=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；
故①正確；
（2）設(shè)CE=x，則CF=AE=4-x，
在Rt△CEF中，$EF=\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}=\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，
∵2（x-2）²+8有最小值，最小值為8，
∴EF有最小值，最小值為$2\sqrt{2}$．
故②錯(cuò)誤；
③由①知，△ADE≌△CDF，
∴S_{四邊形EDFC}=S_△EDC+S_△FDC=S_△EDC+S_△ADE=S_△ADC，
∴四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化．
故③正確；
④由①可知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴$EF=\sqrt{2}DE$，
當(dāng)EF∥AB時(shí)，∵AE=CF，
∴E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，
故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∵CE=CF=2，
∴此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為$\frac{1}{2}EF=\sqrt{2}$．
故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的增減性的綜合應(yīng)用，作出輔助線，構(gòu)造全等的三角形是解決第①小題的關(guān)鍵；也是解決其他題目的基礎(chǔ)．