Question

16．某課題小組研究如下的幾個(gè)問題．
（1）邊長(zhǎng)為1的等邊三角形從圖1位置開始沿直線順時(shí)針無滑動(dòng)地向右滾動(dòng)一周，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（直接列式計(jì)算）；
（2）邊長(zhǎng)為1的正方形從圖2位置開始沿直線順時(shí)針無滑動(dòng)地向右滾動(dòng)，當(dāng)正方形滾動(dòng)一周時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)長(zhǎng)（直接列式計(jì)算）．
（3）請(qǐng)你將（1）（2）中的正多邊形化成一個(gè)邊長(zhǎng)為1，邊數(shù)大于4的正多邊形，按（1）（2）的方式滾動(dòng)一周，求其任意一個(gè)頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（請(qǐng)寫出你選的圖形的名稱，直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)P從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑為兩段弧，第一段是以B點(diǎn)為圓心，1為半徑，圓心角為120°的弧，第二段是以（A）點(diǎn)為圓心，1為半徑，圓心角為120°的弧，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（2）弧長(zhǎng)是三段，第一段以對(duì)角線PB為半徑，第二段以邊長(zhǎng)為半徑，第三段不動(dòng)，第四段以邊長(zhǎng)為半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算后相加即可；
（3）選擇正六邊形，首先畫出幾何圖形，連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六邊形的性質(zhì)分別計(jì)算出A₁A₄=2，A₁A₅=A₁A₃=$\sqrt{3}$，而當(dāng)A₁第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，以1，$\sqrt{3}$1，2，$\sqrt{3}$，1為半徑，圓心角都為60°的五條弧，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵△ABP為等邊三角形，
∴∠ABP=60°，
∴△ABC每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為120°，
點(diǎn)P從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度=$\frac{120×π×1}{180}+\frac{120×π×1}{180}$=$\frac{4}{3}π$；
（2）根據(jù)勾股定理，得PB=$\sqrt{2}$．
則當(dāng)正方形滾動(dòng)一周時(shí)，正方形的頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)=$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}+2×\frac{90π×1}{180}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1）π；
（3）如圖所示：連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，
∵六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆為正六邊形，
∴A₁A₄=2，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=$\frac{1}{2}$，A₁C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A₁A₅=A₁A₃=$\sqrt{3}$，
當(dāng)A₁第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí)，頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，
以1，$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{3}$，1為半徑，圓心角都為60°的五條弧，
∴頂點(diǎn)A₁所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)=$\frac{4+2\sqrt{3}}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正多邊形和圓的、弧長(zhǎng)的計(jì)算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是弄清各多邊形旋轉(zhuǎn)一周所有可能的情況．