Question

3．已知：二次函數(shù)y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上．
（1）請寫出m與n的關(guān)系式，并判斷已知中函數(shù)圖象的開口方向；
（2）是否存在整數(shù)m，n的值，使函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交點橫坐標(biāo)為整數(shù)？若存在，請求出m，n的值；若不存在，請說明理由；
（3）若y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=nx²-m²x-2n-2
①當(dāng)n≠0時，求該函數(shù)必過的定點坐標(biāo)；
②探索這個函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點時n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上，根據(jù)△=0，求出m和n的關(guān)系，進一步得出二次函數(shù)的開口方向；
（2）首先求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交點橫坐標(biāo)為整數(shù)討論存在n的值即可；
（3）①y=nx²-（n-1）x-2n-2可得y=n（x²-x-2）+x-2，令x²-x-2=0，求出x的值，即可求出頂點坐標(biāo)；
②分別討論n=0和n≠0的情況，結(jié)合拋物線與x軸交點數(shù)量關(guān)系即可求出n的值．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上，
∴4m²-4（n-1）=0，
∴n-1=m²，
∴n=m²+1，
∵n-1≠0，且m²≥0
∴n-1≥0，
∴圖象開口向上；

（2）∵y=（n-1）x²+2mx+1，
∴對稱軸x=$-\frac{2a}=-\frac{m}{n-1}=-\frac{1}{m}$，
要使$-\frac{1}{m}$為整數(shù)，
∵m，n為整數(shù)，
∴只要m=±1，此時n=2，
∴存在m=±1，n=2，符合要求；

（3）①y=nx²-m²x-2n-2=nx²-（n-1）x-2n-2=n（x²-x-2）+x-2，
令x²-x-2=0，得x=-1或2，所以必過的定點為（2，0），（-1，-3），
②若n=0，則y=x-2，直線與坐標(biāo)軸有兩個交點，
若n≠0且n≠1：b²-4ac=（n-1）²+4n（2n+2）=（3n+1）²≥0，
當(dāng)拋物線過原點時，n=-1，此時圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點，
當(dāng)拋物線不過原點時，n=-$\frac{1}{3}$時，b²-4ac=0，圖象與x軸，y軸各有1個交點，
綜上，當(dāng)n=0或-1或$-\frac{1}{3}$時，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上坐標(biāo)特征的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，對稱軸以及開口方向等知識，第（3）需要對n進行分類討論，此題有一定的難度．