Question

15．閱讀下面材料，并回答下列問題：

小明遇到這樣一個問題，如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于點D，交AC于點E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明發(fā)現(xiàn)，過點E作EF∥DC，交BC延長線于點F，構造△BEF，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）請你解答：
（1）證明：DE=CF；
（2）求出BC+DE的值；
（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，已知?ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，EF∥DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，從而問題得以解決；
（2）由DC⊥BE，四邊形DCFE是平行四邊形，可得Rt△BEF，求出BF的長，證明BC+DE=BF；
（3）連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等邊三角形，問題得證．

解答
（1）證明：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四邊形DCFE是平行四邊形．
∴DE=CF．
（2）解：由于四邊形DCFE是平行四邊形，
∴DE=CF，DC=EF，
∴BC+DE=BC+CF=BF．
∵DC⊥BE，DC∥EF，
∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，
∵BE=5，CD=3，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{34}$．
∴BC+DE=$\sqrt{34}$．
（3）連接AE，CE，如圖．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC．
∵四邊形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF=AE．
∴DC∥FE．
∴四邊形DCEF是平行四邊形．
∴CE∥DF．
∵AC=BF=DF，
∴AC=AE=CE．
∴△ACE是等邊三角形． 
∴∠ACE=60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF=∠ACE=60°．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．連接AE、CE構造等邊三角形是關鍵．