Question

15．閱讀下列材料：
某同學(xué)在計(jì)算3（4+1）（4²+1）時(shí)，把3寫(xiě)成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算下列各式的值：
（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）
（2）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
（3）$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）（1-\frac{1}{4^2}）…（1-\frac{1}{{{{100}^2}}}）$．

Answer 1

分析 （1）在前面乘一個(gè)（2-1），然后再連續(xù)利用平方差公式計(jì)算；
（2）在前面乘一個(gè)2×（1-$\frac{1}{2}$），然后再連續(xù)利用平方差公式計(jì)算；
（3）把每個(gè)因式逆用平方差公式分解，然后根據(jù)乘法結(jié)合率和有理數(shù)的乘法計(jì)算即可．

解答 解：（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=2⁴⁰⁰⁸-1；
（2）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
=2×（1-$\frac{1}{2}$）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
=2×（1-$\frac{1}{{2}^{16}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{15}}$+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2；
（3）$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）（1-\frac{1}{4^2}）…（1-\frac{1}{{{{100}^2}}}）$
=（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）…（1-$\frac{1}{100}$）（1+$\frac{1}{100}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×…×$\frac{99}{100}$×$\frac{101}{100}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{101}{100}$，
=$\frac{101}{200}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．