Question

3．已知關(guān)于x的方程2x²-（2m+4）x+4m=0．
（1）求證：不論m取何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）等腰△ABC的一邊長b=3，另兩邊長a，c恰好是此方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號進(jìn)行證明；
（2）注意：分b=c，b=a兩種情況．

解答 解：∵△=[-（2m+4）]²-4×2×4m
=4m²+16m+16-32m
=4m²-16m+16
=4（m-2）²≥0，
∴不論m取何實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）①當(dāng)b=c時，則△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴△ABC的周長=a+b+c=3+2+2=7；
②若b=3是等腰三角形的一腰長，
即b=a=3時，
∵2x²-（2m+4）x+4m=0．
∴2（x-2）（x-m）=0，
∴x=2或x=m，
∵另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，
∴m=b=3，
∴c=2，
∴△ABC的周長=a+b+c=3+3+2=8．
綜上所述，△ABC的周長為7或8．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)根的判別式判斷方程的根的情況是基礎(chǔ)，等腰三角形的周長應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍是解題的關(guān)鍵．