Question

9．拋物線y=a（x-h）²（h＞0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，OA=OB，點P為對稱軸右側(cè)的拋物線上一點．
（1）如圖1，點A的坐標(biāo)為（4，0）．
          ①求該拋物線的解析式；
          ②點E為AP的中點．若OE∥BP，求點P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，延長PA交y軸于點C，過點P作x軸的平行線交拋物線于點Q，當(dāng)點P運動時，求$\frac{OC}{PQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）①由點A的坐標(biāo)可知h=4，B（0，4），將點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；②連接BA交OE與點C，依據(jù)平行線分線段成比例定理可知C是BA的中點，先求得點C的坐標(biāo)為（2，2），然后可求得OC的解析式，依據(jù)相互平移的直線的k值相等可求得BP的解析式為y=x+4，然后由直線和拋物線的解析式可求得點P的坐標(biāo)；
（2）由題意可知A（h，0），B（0，h）可求得拋物線的解析式為拋物線的解析式為y=$\frac{1}{h}$（x-h）²．設(shè)點P的坐標(biāo)為（n，$\frac{1}{h}$（n-h）²），利用拋物線的對稱性可得到QP=2（n-h）．設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，將點A和點P的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{hk+b=0}\\{nk+b=\frac{1}{h}（n-h）^{2}}\end{array}\right.$，可求得直線AP的解析式為y=$\frac{1}{h}$（n-h）x+h-n，從而可求得OC=n-h．

解答 解：（1）①∵點A的坐標(biāo)為（4，0），
∴h=4．
∴y=a（x-4）²．
∵OA=OB，
∴B（0，4）．
將點B的坐標(biāo)代入得：4=16a，解得a=$\frac{1}{4}$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-4）²．

②如圖1所示，連接BA交OE與點C．

∵點E為AP的中點，OE∥BP，
∴點C時AB的中點，
∴點C的坐標(biāo)為（2，2）．
設(shè)OE的解析式為y=kx，將點C的坐標(biāo)代入得：2k=2，解得k=1，
∴直線OE的解析式為y=x．
∴直線BP的解析式為y=x+4．
將y=x+4代入y=$\frac{1}{4}$（x-4）²得$\frac{1}{4}$（x-4）²=x+4，解得：x=12或x=0．
∵點P作對稱軸的右側(cè)，
∴x=12．
∵當(dāng)x=12時，y=16，
∴點P的坐標(biāo)為（12，16）．

（2）∵y=a（x-h）²（h＞0）與x軸交于點A，
∴A（h，0）．
∵OA=OB，
∴B（0，h）．
將點B的坐標(biāo)代入得：ah²=h，解得a=$\frac{1}{h}$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{h}$（x-h）²．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（n，$\frac{1}{h}$（n-h）²）．
∵PQ∥x軸，
∴QP=2（n-h）．
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，將點A和點P的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{hk+b=0}\\{nk+b=\frac{1}{h}（n-h）^{2}}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{h}$（n-h），b=h-n．
設(shè)直線AP的解析式為y=$\frac{1}{h}$（n-h）x+h-n．
當(dāng)x=0時，y=h-n．
∴C（0，h-n）．
∴OC=n-h．
∴$\frac{OC}{PQ}$=$\frac{2（n-h）}{n-h}$=2．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，求得點C的坐標(biāo)是解答問題（1）的關(guān)鍵；求得AP的解析式是解答問題（2）的關(guān)鍵．