Question

6．已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對角線AC平分∠DCB，延長DA，CB相交于點E．
（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如圖2，連接OE，過點E作直線EF，使得∠OEF=30°，當(dāng)∠ACE≥30°時，判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠ACD=∠ABC得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，則AD=AB，加上EB=AD，則AB=EB，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判斷△ABE是等腰直角三角形
（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，則60°≤∠DCE＜90°，根據(jù)三角形邊角關(guān)系得AE≥AC，而OE＞AE，所以O(shè)E＞AC，作OH⊥EF于H，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OH=$\frac{1}{2}$OE，所以O(shè)H＞OA，則根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷直線EF與⊙O相離．

解答 （1）證明：∵對角線AC平分∠DCB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，
∴AD=AB，
∵EB=AD，
∴AB=EB，
∵∠EBA=∠ADC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形
（2）解：直線EF與⊙O相離．理由如下：
∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ACB，
∵∠ACE≥30°，
∴60°≤∠DCE＜90°，
∴∠AEC≤30°，
∴AE≥AC，
∵OE＞AE，
∴OE＞AC，
作OH⊥EF于H，如圖，
在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OE，
∴OH＞OA，
∴直線EF與⊙O相離．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系．