Question

18．已知點(diǎn)D與點(diǎn)A（-2，0），B（0，4），C（a，a）是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則CD長(zhǎng)的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 討論兩種情形：①CD是對(duì)角線，②CD是邊．CD是對(duì)角線時(shí)CF⊥直線y=x時(shí)，CD最�。瓹D是邊時(shí)，CD=AB=2$\sqrt{5}$，通過(guò)比較即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖如果AB、CD為對(duì)角線，AB與CD交于點(diǎn)F，當(dāng)FC⊥直線y=x時(shí)，CD最小．
設(shè)直線AB為y=kx+b則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直線AB為y=2x+4，
∵AF=FB，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（-1，2），
∵CF⊥直線y=x，
設(shè)直線CF為y=-x+b′F（-1，2）代入得b′=1
∴直線CF為y=-x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴CD=2CF=2×$\sqrt{（\frac{1}{2}+1）^{2}+（\frac{1}{2}-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
如果CD是平行四邊形的邊，則CD=AB=2$\sqrt{5}$＞3$\sqrt{2}$，
∴CD的最小值為3$\sqrt{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，學(xué)會(huì)分類討論是解題的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用垂線段最短解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考常考題型．