Question

1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點(diǎn)，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．
（1）求證：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段AF的長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)和已知條件可分別證明∠FEH=∠PBA，AB=HE，進(jìn)而可證明△ABP≌△HEF，由全等三角形的性質(zhì)即可得到HF=AP；
（2）連接，設(shè)AF=x，則PF=BF=12-x，在△APF中利用勾股定理可得：4²+x²=（12-x）²，解方程求出x的值即可．

解答 解：（1）∵EF⊥BP，EH⊥AB，
∴∠FEH+∠EMQ=90°=∠PBA+∠BMH，
又∵∠QME=∠BMH，
∴∠FEH=∠PBA，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD，
∵EH⊥AB，
∴∠EHA=90°=∠A=∠D，
∴四邊形ADEH是矩形，
∴AD=EH，
又∵AB=AD，
∴AB=EH，
在△ABP與△HEF中
$\left\{{\begin{array}{l}{∠A=∠FHE}\\{AB=HE}\\{∠ABP=∠HEF}\end{array}}\right.$，
∴△ABP≌△HEF（ASA），
∴AP=FH；
（2）連結(jié)PF，
∵EF垂直平分BP，
∴PF=BF，
設(shè)AF=x，則PF=BF=12-x，
∴在△APF中，4²+x²=（12-x）²，
∴x=$\frac{16}{3}$，
∴AF=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．