Question

如圖，BD是⊙O的直徑，A是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AC切⊙O于E，CB⊥AB于B，若AE：EC=2：1，DE+BE=4+2

2

，求S_△ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：連結(jié)OE，設(shè)AE=2t，EC=t，由CB⊥AB得到CB于⊙O相切，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=2

2

t，由于AC切⊙O于E，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得CB=CE=t，根據(jù)切線性質(zhì)得OE⊥AE；再根據(jù)圓周角定理由BD是⊙O的直徑得到∠DEB=90°，則∠3+∠4=90°，加上∠1+∠2=90°，∠2=∠3，利用等量代換可得∠1=∠4，于是可判斷△AED∽△ABE，利用相似比得AD=

2

t，BE=

2

DE，而DE+BE=4+2

2

，則可計(jì)算出DE=2

2

，BE=4，然后在Rt△DBE中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出DB=2

5

，利用AB=AD+DB得到2

2

t=

2

t+2

5

，解得t=

10

，再根據(jù)三角形面積公式得到S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

•2

2

t•t=

2

t²=10

2

．

解答：解：連結(jié)OE，如圖，
設(shè)AE=2t，EC=t，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC=90°，CB于⊙O相切，
在Rt△ABC中，AB=

AC2-BC2

=2

2

t，
∵AC切⊙O于E，
∴CB=CE=t，OE⊥AE，
又∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
而∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠EAD=∠BAE，
∴△AED∽△ABE，
∴

AE

AB

=

DE

BE

=

AD

AE

，即

2t

2 2 t

=

DE

BE

=

AD

2t

，
∴AD=

2

t，BE=

2

DE，
∵DE+BE=4+2

2

，
∴DE+

2

DE=4+2

2

，解得DE=2

2

，
∴BE=4，
在Rt△DBE中，DB=

DE2+BE2

=2

5

，
∵AB=AD+DB，
∴2

2

t=

2

t+2

5

，解得t=

10

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

•2

2

t•t=

2

t²=

2

×（

10

）²=10

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．