Question

11．已知，如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，O為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CO=3，過(guò)O，A作直線l，將l繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，l與AB交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，當(dāng)l與OB重合時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)，過(guò)D作DM⊥AE于M，設(shè)AD=x，S_△ACE=S
探究1：用含x的代數(shù)式表示DM，AM的長(zhǎng)
探究2：當(dāng)直線l過(guò)AC中點(diǎn)時(shí)，求x的值；
探究3：用含x的代數(shù)式表示AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 探究1，根據(jù)勾股定理求出AB=10，再由DM∥BC，得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$，求出DM、AM；
探究2，由直線l過(guò)AC中點(diǎn)，得到AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，再由DM∥BC知$\frac{DM}{OC}$=$\frac{ME}{CE}$、$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$，求出AM=ME=$\frac{1}{2}$AE=2，從而求出x；
探究3，由DM∥BC得出比例式$\frac{DM}{OC}$=$\frac{ME}{CE}$求出ME，從而得到AE．

解答 解：探究1，如圖1，

在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵DM⊥AC，BC⊥AC，
∴DM∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{DM}{6}$=$\frac{AM}{8}$，
∴DM=$\frac{3}{5}$x，AM=$\frac{4}{5}$x，

探究2，如圖2，

∵直線l過(guò)AC中點(diǎn)，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{OC}$=$\frac{ME}{CE}$，
∴$\frac{DM}{3}$=$\frac{ME}{4}$①，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{BC}$=$\frac{AM}{AC}$
∴$\frac{DM}{6}$=$\frac{AM}{8}$，
∴$\frac{DM}{3}$=$\frac{AM}{4}$②，
由①②得，AM=ME=$\frac{1}{2}$AE=2，
∵DM∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{2}{8}$，
∴x=$\frac{5}{2}$；

探究3，
由（1）有，DM=$\frac{3}{5}$x，AM=$\frac{4}{5}$x，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{OC}$=$\frac{ME}{CE}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}x}{3}$=$\frac{ME}{8-\frac{4}{5}x-ME}$，
∴ME=$\frac{-4{x}^{2}+40x}{x+5}$，
∴AE=AM+ME=$\frac{4}{5}$x+$\frac{-4{x}^{2}+40x}{x+5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)，比例的基本性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是寫出比例式求出相關(guān)的線段．