Question

18．拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為D（-1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①b²-4ac＜0；②a+b+c＜0；③2a+b=0；④c-a=2；⑤4ac-8a=b²；⑥方程ax²+bx+c-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 3個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 5個(gè)
• D． 6個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bc+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得△＞0，即b²-4ac＞0，據(jù)此判斷即可．
②根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bc+c的圖象的對稱軸是x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，可得與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，所以x=1時(shí)，y＜0，據(jù)此判斷即可．
③結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)來求（2a+b）的值；
④首先根據(jù)x=-$\frac{2a}$，可得b=2a，所以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=2，據(jù)此判斷即可．
⑤根據(jù)b=2a、a=c-2進(jìn)行解答；
⑥根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=-1時(shí)，ax²+bx+c=2，所以說方程ax²+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

解答 解：①∵二次函數(shù)y=ax²+bc+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△＞0，
即b²-4ac＞0，
故①錯(cuò)誤；

②∵二次函數(shù)y=ax²+bc+c的圖象的對稱軸是x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，
∴x=1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故②正確；

③∵頂點(diǎn)為D（-1，2），
∴-1=-$\frac{2a}$，
∴2a-b=0．
故③錯(cuò)誤

④∵x=-$\frac{2a}$，
∴b=2a，
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=2，
∴a=c-2，
故④正確；

⑤∵b=2a、a=c-2，
∴4ac-8a=4a（a+2）-8a=4a²=b²，
故⑤正確；

⑥∵當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，
即只有x=-1時(shí)，ax²+bx+c=2，
∴方程ax²+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
故⑥錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．