Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，BP=2，將一個(gè)大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E．若△PDE為直角三角形，則BD的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：分類(lèi)討論

分析：如圖，作輔助線(xiàn)；求出cos∠B=

3

5

；證明△BDP∽△CPE，

BD

PC

=

PD

PE

，而PC=6-2=4，得到BD=4×

PD

PE

；運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想求出

PD

PE

的值，即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，BF=CF=3；cos∠B=

3

5

；
而∠DPE=∠B，
∴∠BDP+∠DPB=∠DPB+∠EPC，
∴∠BDP=∠EPC，
∴△BDP∽△CPE，
∴

BD

PC

=

PD

PE

，而PC=6-2=4，
∴BD=4×

PD

PE

；
若∠PDE=90°，則cos∠DPE=cos∠B=

PD

PE

=

3

5

，
∴BD=

12

5

；
若∠PED=90°，則cos∠DPE=cos∠B=

PE

PD

=

3

5

，
∴BD=

20

3

，
故答案為

12

5

或

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何問(wèn)題；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．