Question

9．紙片△ABC中，∠B=60°，AB=8cm，AC=7cm，將它折疊，使A與B重合，則折痕長為$\frac{12\sqrt{3}}{13}$或$\frac{20\sqrt{3}}{11}$cm．

Answer 1

分析 當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖1中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足為M，作AH⊥BC于H，再求出BH、CH，在RT△BCM中QC BM、CM，再根據(jù)EF∥CM得$\frac{EF}{CM}$=$\frac{AE}{AM}$，由此即可解決．
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖2中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足為M，作AH⊥BC于H，方法同上．

解答 解：當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖1中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足為M，作AH⊥BC于H，
在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=8，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=4，AH=$\sqrt{3}$BH=4$\sqrt{3}$，
在RT△AHC中，∠AHC=90°，AH=4$\sqrt{3}$，AC=7，
∴HC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴BC=5，
在RT△BCM中，∵∠CMB=90°，∠B=60°，BC=5，
∴BM=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{5}{2}$，MC=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，
∵EF∥CM，AE=EB=4，
∴$\frac{EF}{CM}$=$\frac{AE}{AM}$，
∴$\frac{EF}{\frac{5}{2}\sqrt{3}}$=$\frac{4}{\frac{11}{2}}$，
∴EF=$\frac{20\sqrt{3}}{11}$．
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖2中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足為M，作AH⊥BC于H，
由（1）可知，BH=4，AH=4$\sqrt{3}$，CH=1，
∴BC=BH-CH=3，
在RT△BCM中，∵∠CMB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴BM=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{3}{2}$，MC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵EF∥CM，AE=EB=4，
∴$\frac{EF}{CM}$=$\frac{AE}{AM}$，
∴$\frac{EF}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{\frac{13}{2}}$，
∴EF=$\frac{12\sqrt{3}}{13}$．
故答案為$\frac{12\sqrt{3}}{13}$或$\frac{20\sqrt{3}}{11}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，學(xué)會(huì)應(yīng)用平行線分線段成比例定理求線段的長，屬于中考常考題型．