Question

18．如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90）后的圖形，若它與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象分別交一、三象限的點(diǎn)B、D，已知點(diǎn)A（-m，0）、C（m，0）（m＞0）
（1）直接判斷：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
（2）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（p，1），四邊形ABCD是矩形時(shí)，求p和m的值；
（3）請(qǐng)根據(jù)m的取值情況，判斷矩形ABCD的個(gè)數(shù)．（直接寫(xiě)出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由于反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則OB=OD，又OA=OC，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀；
（2）把點(diǎn)B（p，1）代入y=$\frac{4}{x}$，即可求出p的值；過(guò)B作BE⊥x軸于E，在Rt△BOE中，根據(jù)勾股定理，得出OB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)進(jìn)行的對(duì)角線相等得出OA=OB=OC=OD，從而求出m的值；
（3）當(dāng)m=$\sqrt{17}$時(shí)，設(shè)B（x，$\frac{4}{x}$）則x＞0，由OB=，得出x²+（$\frac{4}{x}$）²=（$\sqrt{17}$）²，解此方程，得出滿足條件的x的值有兩個(gè)，故能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有兩個(gè)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；

（2）把點(diǎn)B（p，1）代入y=$\frac{4}{x}$，解得：p=4，
過(guò)B作BE⊥x軸于E，則OE=1，EB=4，
∵在Rt△BOE中，∴OB=$\sqrt{17}$，
又∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
∴OB=OD=$\sqrt{17}$，
∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=$\sqrt{17}$
∴m=$\sqrt{17}$；

（3）當(dāng)m=$\sqrt{17}$時(shí)，設(shè)B（x，$\frac{4}{x}$）則x＞0，
∵OB=$\sqrt{17}$，
∴x²+（$\frac{4}{x}$）²=（$\sqrt{17}$）²，
解得：x=±1或±4，
∵x＞0，
∴x=1或4，則$\frac{4}{x}$=4或1，
故能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有2個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形．