Question

3．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{k}$x²+k（k＞0）的圖象與x軸相交于A、C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為線段OC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)O、C重合），以O(shè)D為邊向上作正方形ODEF，連接AE，BE，AB，AB，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
（1）當(dāng)k=3，m=2時(shí)，S_△ABE=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)k=4，m=3時(shí)，S_△ABE=8，
當(dāng)k=5，m=4時(shí)，S_△ABE=$\frac{25}{2}$；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想S_△ABE的大小，并證明你的猜想；
（3）當(dāng)S_△ABE=8時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為n，當(dāng)以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出m與n滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程得出x的值，即可得知點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0求出y值，由此得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形形的性質(zhì)以及D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m得出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)，代入k、m的值得出點(diǎn)A、B、E、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）S_△ABE=$\frac{1}{2}{k}^{2}$．由（1）得出由k、m表示的點(diǎn)A、B、E、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式求出S_△ABE即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)S_△ABE=8找出k值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，y）．以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形有三種情況，分情況考慮，利用平行四邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)系中點(diǎn)的意義即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=-$\frac{1}{k}$x²+k=0，則x²=k²，
解得：x₁=-k，x₂=k，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-k，0）．
令x=0，則y=k，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，k）．
∵D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0）．
當(dāng)k=3，m=2時(shí)，A（-3，0），B（0，3），E（2，2），D（2，0），
S_△ABE=$\frac{1}{2}$AO•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OD-$\frac{1}{2}$AD•DE=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×（3+2）×2-$\frac{1}{2}$（3+2）×2=$\frac{9}{2}$；
當(dāng)k=4，m=3時(shí)，A（-4，0），B（0，4），E（3，3），D（3，0），
S_△ABE=$\frac{1}{2}$AO•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OD-$\frac{1}{2}$AD•DE=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×（4+3）×3-$\frac{1}{2}$（4+3）×3=8；
當(dāng)k=5，m=4時(shí)，A（-5，0），B（0，5），E（4，4），D（4，0），
S_△ABE=$\frac{1}{2}$AO•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OD-$\frac{1}{2}$AD•DE=$\frac{1}{2}$×5×5+$\frac{1}{2}$×（5+4）×4-$\frac{1}{2}$（5+4）×4=$\frac{25}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$；8；$\frac{25}{2}$．
（2）S_△ABE=$\frac{1}{2}{k}^{2}$．
證明：由（1）知：A（-k，0），B（0，k），E（m，m），D（m，0），
S_△ABE=$\frac{1}{2}$AO•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OD-$\frac{1}{2}$AD•DE=$\frac{1}{2}$k•k+$\frac{1}{2}$（k+m）m-$\frac{1}{2}$（k+m）m=$\frac{1}{2}{k}^{2}$．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，y）．
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}{k}^{2}$=8，
∴k=4．
當(dāng)以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)AB、EP為對(duì)角線時(shí)，令對(duì)角線的交點(diǎn)為M，如圖1所示．

∵四邊形AEBP為平行四邊形，
∴點(diǎn)M平分AB，點(diǎn)M平分EP．
∵A（-4，0），B（0，4），E（m，m），P（n，y），
∴-4+0=m+n，
即m+n=-4；
②AB、EP為對(duì)邊，且點(diǎn)P在E的左側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)ED，過點(diǎn)P作PN⊥ED于點(diǎn)N，如圖2所示．

∵四邊形AEBP為平行四邊形，
∴AB=PE，且AB∥PE，
∴AO=PN．
∵A（-4，0），B（0，4），E（m，m），P（n，y），
∴0-（-4）=m-n，
即m-n=4；
③AB、EP為對(duì)邊，且點(diǎn)P在E的右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)FE，過點(diǎn)P作PN⊥FE于點(diǎn)N，如圖3所示．

∵四邊形AEBP為平行四邊形，
∴AB=PE，且AB∥PE，
∴AO=PN．
∵A（-4，0），B（0，4），E（m，m），P（n，y），
∴0-（-4）=n-m，
即n-m=4．
綜上可知：當(dāng)以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，m與n滿足的關(guān)系式有m+n=-4，m-n=4和n-m=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、三角形的面積公式以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點(diǎn)A、B、E、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）用k、m表示出點(diǎn)A、B、E、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)找出m、n之間的關(guān)系．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）分三種情況考慮，部分同學(xué)經(jīng)常性的會(huì)落下一兩種情況，因此在日常做題時(shí)要注意培養(yǎng)孩子們做題的完整性、考慮問題的全面性．