Question

18．在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE⊥BD，垂足為E，且AE平分∠BAO．若DO=2，求AB和BC的長度．

Answer 1

分析 證△AEB≌△AEO，根據(jù)全等三角形的性質得出AB=AO，根據(jù)矩形的性質求出AC=BD=2OD=4，根據(jù)勾股定理求出BC即可．

解答 解：∵AE平分∠BAO，
∴∠BAE=∠OAE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
在△AEB和△AEO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠OAE}\\{AE=AE}\\{∠AEB=∠AEO}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△AEO（ASA），
∴AB=AO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∵∠ABC=90°，AC=BD，AO=OC，OB=OD=2，
∴AC=BD=4，AO=OC=OB=OD=2，
∴AB=OA=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理的應用，能求出AB=AO和AC=BD=2DO是解此題的關鍵，注意：矩形的對角線相等且互相平分．