Question

9．如圖所示，某市為加快“工業(yè)立市”的步伐，計(jì)劃在四邊形工業(yè)區(qū)ABCD中建立一個(gè)土特產(chǎn)中轉(zhuǎn)站O，使點(diǎn)O到A，B，C，D四點(diǎn)的連線之和最小，請你找出點(diǎn)O．

Answer 1

分析 連接AC、BD相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是所要找的點(diǎn)；取不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得PA+PC＞AC，PB+PD＞BD，然后結(jié)合圖形即可得到PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，從而可得點(diǎn)O就是所要找的四邊形ABCD內(nèi)符合要求的點(diǎn)．

解答 解：如圖，要使OA+OB+OC+OD最小，則點(diǎn)O是線段AC、BD的交點(diǎn)．

理由如下：如果存在不同于點(diǎn)O的交點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
則PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即點(diǎn)O是線段AC、BD的交點(diǎn)時(shí)，OA+OB+OC+OD之和最�。�

點(diǎn)評 本題考查了三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，作出圖形更助于問題的解決，本題滲透了反證法的思想，希望同學(xué)們逐漸適應(yīng)并熟練掌握．