Question

19．如圖．正比例函數(shù)y=kx經(jīng)過點P（1，2）．
（1）求這個正比例函數(shù)的表達式；
（2）將這個正比例函數(shù)的圖象向右平移4個單位，寫出平移后點P、O的像P′、O′的坐標(biāo)，并求出平移后的直線的表達式；
（3）求這兩條直線之間的距離．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法把P（1，2）代入正比例函數(shù)y=kx中計算出k即可得到解析式．
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求得P′、O′的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（3）作PQ⊥x軸與Q，O′H⊥OP于H，根據(jù)三角形相似即可求得．

解答 解：（1）∵正比例函數(shù)y=kx經(jīng)過點（1，2），
∴2=1•k，
解得：k=2，
∴這個正比例函數(shù)的解析式為：y=2x．
（2）將這個正比例函數(shù)的圖象向右平移4個單位，P′（5，2）、O′（4，0），
設(shè)平移后的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=2}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-8}\end{array}\right.$，
∴平移后的直線的表達式為y=2x-8．
（3）如圖，作PQ⊥x軸與Q，O′H⊥OP于H，
∵P（1，2），
∴OP=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠OQP=∠OO′H=90°，∠QOP=∠HOO′，
∴△QOP∽△HOO′，
∴$\frac{O′H}{PQ}$=$\frac{OO′}{OP}$，即$\frac{O′H}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴O′H=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$．
∴這兩條直線之間的距離為$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)．