Question

9．已知在平面直角坐標系xOy中（如圖），拋物線y=ax²-4與x軸的負半軸相交于點A，與y軸相交于點B，AB=$2\sqrt{5}$．點P在拋物線上，線段AP與y軸的正半軸交于點C，線段BP與x軸相交于點D．設(shè)點P的橫坐標為m．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）用含m的代數(shù)式表示線段CO的長；
（3）如果把A、B之間的拋物線（包含A、B兩點）圖象記為G，直線l：y=-x+b與圖象G只有一個公共點，求b的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)y軸上點的坐標特征確定B（0，-4），再利用勾股定理計算出OA=2，則A點坐標為（-2，0），然后把A點坐標代入y=ax²-4求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設(shè)P（m，m²-4）（m＞2），求出直線AP的解析式即可．
（3）討論：當直線y=-x+b經(jīng)過點A（-2，0）時，y=-x+b與圖象G只有一個公共點，當直線y=-x+b經(jīng)過點B（0，-4）時，y=-x+b與圖象G，有2個公共點，由此可以得出b的取值范圍；當若y=-x+b與圖象G只有一個公共點，利用方程-x+b=x²-4有等根，△=0即可．

解答 解：如圖，
（1）當x=0時，y=ax²-4=-4，則B（0，-4），所以O(shè)B=4，
在Rt△OAB中，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
∴A點坐標為（-2，0），
把A（-2，0）代入y=ax²-4得4a-4=0，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-4；
（2）設(shè)P（m，m²-4）（m＞2），
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+n，
把A（-2，0），P（m，m²-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+n=0}\\{mk+n={m}^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=m-2}\\{n=2m-4}\end{array}\right.$．
故直線AP的解析式為y=（m-2）x+2m-4，
當x=0時，y=（m-2）x+2m-4=2m-4，
∴C（0，2m-4），
∴OC=2m-4；
（3）①當直線y=-x+b經(jīng)過點A（-2，0）時直線與圖象G只要一個交點，2+b=0，解得b=-2，當直線y=-x+b經(jīng)過點B（0，-4）時直線與圖象G有兩個交點，b=-4，
所以當-2≤b＜-4時，y=-x+b與圖象G只有一個公共點；
②當方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4}\\{y=-x+b}\end{array}\right.$有一組解時，y=-x+b與圖象G只有一個公共點，則方程-x+b=x²-4有等根，
所以△=1-4（-4-b）=0，解得b=-$\frac{17}{4}$，
綜上所述：當-2≤b＜-4或b=-$\frac{17}{4}$時，y=-x+b與圖象G只有一個公共點．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理等知識，理解題意是解題的關(guān)鍵，第三個問題有點難度，通過特殊點，轉(zhuǎn)化的思想解決．