Question

19．如圖，已知四邊形ABCD中E，F(xiàn)，G，H，N、N，R、S分別是四邊形三等分點(diǎn)，求證：S_陰影=$\frac{1}{9}$S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

分析 連接RN、AC、EH，如圖1，易證RN=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{2}$EH，RN∥AC∥EH，進(jìn)而可證到L是EN、RH的三等分點(diǎn)，同理可得I是EN、SG的三等分點(diǎn)，J是SG、FM的三等分點(diǎn)，K是FM、RH的三等分點(diǎn)．要證S_陰影=$\frac{1}{9}$S_{四邊形ABCD}，只需證S_{四邊形ILKJ}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形EFMN}，S_{四邊形EFMN}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}，連接LJ、EJ、LM、EM，如圖2，只需運(yùn)用等高三角形的面積比等于底的比即可解決問題．

解答 證明：連接RN、AC、EH，如圖1，
∵E，F(xiàn)，G，H，N、N，R、S分別是四邊形三等分點(diǎn)，
∴$\frac{DR}{DA}$=$\frac{DN}{DC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{2}{3}$．
∵∠D=∠D，∠EBH=∠ABC，
∴△DRN∽△DAC，△BEH∽△BAC，
∴$\frac{RN}{AC}$=$\frac{DR}{DA}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{EH}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$=$\frac{2}{3}$，∠DRN=∠DAC，∠BEH=∠BAC，
∴RN=$\frac{1}{2}$EH，RN∥AC，EH∥AC，
∴RN∥EH，
∴△RNL∽△HEL，
∴$\frac{NL}{EL}$=$\frac{RL}{HL}$=$\frac{1}{2}$，
∴L是EN、RH的三等分點(diǎn)．
同理：I是EN、SG的三等分點(diǎn)，J是SG、FM的三等分點(diǎn)，K是FM、RH的三等分點(diǎn)．
連接LJ、EJ、LM、EM，如圖2．
∵L、I是EN的三等分點(diǎn)，
∴S_△LIJ=$\frac{1}{2}$S_△LEJ，S_△ELM=$\frac{2}{3}$S_△ENM．
∵J、K是FM的三等分點(diǎn)，
∴S_△LKJ=$\frac{1}{2}$S_△LJM，S_△EJM=$\frac{2}{3}$S_△EFM，
∴S_{四邊形ILKJ}=S_△LIJ+S_△LJK
=$\frac{1}{2}$S_△LEJ+$\frac{1}{2}$S_△LJM=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EJML}
=$\frac{1}{2}$（S_△ELM+S_△EJM）
=$\frac{1}{2}$×[$\frac{2}{3}$S_△ENM+$\frac{2}{3}$S_△EFM]
=$\frac{1}{3}$S_{四邊形EFMN}．
同理：S_{四邊形EFMN}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}，
∴S_陰影=S_{四邊形ILKJ}=$\frac{1}{9}$S_{四邊形ABCD}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等高三角形的面積比等于底的比等知識(shí)，證到L、I是EN的三等分點(diǎn)及J、K是FM的三等分點(diǎn)，并由此證到四邊形ILKJ的面積是四邊形EFMN面積的三分之一是解決本題的關(guān)鍵．