Question

1．如圖，已知四邊形ABCD內接于半徑為4的⊙O中，且∠C=2∠A，則BD=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OD、OB，過點O作OF⊥BD，垂足為F，由垂徑定理可知DF=BF，∠DOF=∠BOF，再由圓內接四邊形的性質求出∠A的度數(shù)，故可得出∠BOD的度數(shù)，再由銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長，進而可得出結論．

解答 解：連接OD、OB，過點O作OF⊥BD，垂足為F，
∵OF⊥BD，
∴DF=BF，∠DOF=∠BOF．
∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠C=2∠A，
∴∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOF=60°．
∵OB=4，
∴BF=OB•sin∠BOF=4×sin60°=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BF=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．