Question

6．如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形 ABE．點F是對角線BD上一動點（點F不與點B重合），將線段AF繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM，連接FM．
（1）求AO的長；
（2）如圖2，當點F在線段BO上，且點M，F(xiàn)，C三點在同一條直線上時，求證：AC=$\sqrt{3}$AM；
（3）連接EM，若△AEM的面積為40，請直接寫出△AFM的周長．
溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便作答

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，利用勾股定理OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$求解．
（2）由四邊形ABCD是菱形，求出△AFM為等邊三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°，即可．
（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面積為40求出BF，在利用勾股定理AF=$\sqrt{A{O}^{2}+F{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，得出△AFM的周長為3$\sqrt{41}$．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5．

（2）證明：如圖2，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM為等邊三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵點M，F(xiàn)，C三點在同一條直線上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt△ACM中，∠ACM=180°-90°-60°=30°．
∴AC=$\sqrt{3}$AM．

（3）解：如圖3，連接EM，
∵△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由（1）知△AFM為等邊三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF，
在△AEM和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAM=∠BAF}\\{AM=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∵△AEM的面積為40，△ABF的高為AO
∴$\frac{1}{2}$BF•AO=40，BF=16，
∴FO=BF-BO=16-12=4，
AF=$\sqrt{A{O}^{2}+F{O}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴△AFM的周長為3$\sqrt{41}$．

點評 此題是四邊形的綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是靈活運用等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)．