Question

已知，圓O的直徑為1，CD⊥AB，M，N分別是CD，BD的中點，求證：cos∠NMD=AC．

Answer 1

考點：圓周角定理,三角形中位線定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：證明題

分析：連接CO并延長交圓于點E，連接AC、BC、AE，利用圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)及中位線定理，可證得∠NMD=∠DCB=∠ACE，又在Rt△ACE中可知cos∠ACE=AC，可證得結論．

解答：證明：連接CO并延長交圓于E點，連接AC、AE、BC
∵CE為圓直徑，
∴CA⊥AE，
∴cos∠ACE=AC，
∵∠E=∠CBA，且AB⊥CD，
∴∠ACE=∠DCB，
∵M、N為CD、BD的中點，
∴MN∥BC，
∴∠NMD=∠DCB，
∴cos∠NMD=cos∠DCB=cos∠ACE=AC．

點評：本題主要考查圓周角定理及三角函數(shù)的定義，證明∠NMD=∠DCB=∠ACE，把所求角轉化到Rt△ACE中利用三角函數(shù)定義是解題的關鍵．