Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{1}{5}$x²+bx+c經(jīng)過點A（-5，2）、B（5，12）．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
（2）連結(jié)OB，點C為線段OB上一點，過點C作MN∥x軸，分別交y軸和拋物線于點M、N（N點在對稱軸右側(cè)），若MC=MN，求點C的橫坐標(biāo)．
（3）點E是OB的中點，作BD∥x軸．
①設(shè)BD與拋物線的對稱軸交于點P，求∠BPE的正切值．
②點F是直線BD上的一個動點，且點F與點B不重合，當(dāng)∠BFE=$\frac{1}{3}$∠FEO時，請直接寫出線段BF的長．
[參考公式：拋物線y═ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）]．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1中，設(shè)線段BO與拋物線交于點F，當(dāng)點C與點F重合時，CM=MN，列方程組即可解決問題．
（3）①如圖2中，作EN⊥x軸于N，NE的延長線交BD于M，求出PM、ME即可解決問題．
②點F在點B的左右兩側(cè)均有可能，需要分類討論．綜合利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出線段BM的長度．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{5}$x²+bx+c經(jīng)過點A（-5，2）、B（5，12），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5-5b+c=2}\\{5+5b+c=12}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{5}$x²+x+2．

（2）如圖1中，設(shè)線段BO與拋物線交于點F，

①當(dāng)點C與點F或B重合時，CM=MN，
∵直線OB解析式為y=$\frac{12}{5}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{5}x}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}+x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，
∴點C坐標(biāo)（2，$\frac{24}{5}$）或（5，12），
∴點C橫坐標(biāo)為2或5．
②當(dāng)點N在y軸左側(cè)時，設(shè)C（m，$\frac{12}{5}m$），
∵MN=CM，
∴$\frac{1}{5}$m²-m+2=$\frac{12}{5}$m，
∴m=$\frac{17-\sqrt{149}}{2}$或$\frac{17+\sqrt{149}}{2}$（不合題意舍棄），
綜上所述，點C的橫坐標(biāo)為2或5或$\frac{17-\sqrt{149}}{2}$．

（3）①如圖2中，作EN⊥x軸于N，NE的延長線交BD于M．

∵點E坐標(biāo)（$\frac{5}{2}$，6），
∴BM=$\frac{5}{2}$，EN=6，EM=6，
∵拋物線對稱軸x=-$\frac{5}{2}$，
∴PB=$\frac{15}{2}$，PM=PB-BM=5，
在Rt△PME中，tan∠BPE=$\frac{EM}{PM}$=$\frac{6}{5}$．
②如圖3中，當(dāng)點F在點B左側(cè)時，BD與y軸交于點K，連接KE．
∵OE=EB，
∴KE=EO=EB，
∵∠FEO=3∠BFE，∠FEO=∠BFE+∠FBE，
∴∠FBE=2∠BFE=∠BEE，
∵∠BKE=∠BFE+∠KEF，
∴∠KFE=∠KEF，
∴FK=KE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{13}{2}$，

∴BF=KF+BK=$\frac{13}{2}$+5=$\frac{23}{2}$，
當(dāng)點F′在點B右側(cè)時，在BD上截取BG=BE，作EN⊥BD于N．
∵∠F′EO=3∠EF′B，∠F′EO=∠EF′B+∠EBF′，
∴∠EBF′=2∠EF′B，
∵∠BGE=∠BEG，
∴∠BEG=∠EF′B，∵∠EGB=∠EGF′，
∴△BGE∽△EGF′，
∴$\frac{GF′}{GE}$=$\frac{GE}{GB}$，
在Rt△ENG中，∵NE=6，GN=4，
∴GE=$\sqrt{G{N}^{2}+N{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，設(shè)BF′=x，
∴$\frac{\frac{13}{2}+x}{2\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{\frac{13}{2}}$，
∴x=$\frac{3}{2}$，
綜上所述當(dāng)∠BFE=$\frac{1}{3}$∠FEO時，請直接寫出線段BF的長為$\frac{23}{2}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題是中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四邊形、勾股定理等知識點．難點在于第（3）②問，滿足條件的點F可能有兩種情形，需要分類討論，分別計算，避免漏解．