Question

13．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，AB=4cm，∠CAB=60°，P是弧$\widehat{BC}$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過C點(diǎn)作CD⊥AP于D，連接BD，在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，BD的最小值是（$\sqrt{13}$-1）cm．

Answer 1

分析 以AC為直徑作圓O′，連接BO′、BC．在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，點(diǎn)D在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O′、D、B共線時(shí)，BD的值最小，最小值為O′B-O′D，利用勾股定理求出BO′即可解決問題．

解答 解：如圖，以AC為直徑作圓O′，連接BO′、BC．

∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
∴在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，點(diǎn)D在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=4cm，∠CAB=60°，
∴BC=AB•sin60°=2$\sqrt{3}$，AC=AB•cos60°=2cm．
在Rt△BCO′中，BO′=$\sqrt{B{C}^{2}+O′{C}^{2}}$=$\sqrt{12+1}$=$\sqrt{13}$，
∵O′D+BD≥O′B，
∴當(dāng)O′、D、B共線時(shí)，BD的值最小，最小值為O′B-O′D=$\sqrt{13}$-1，
故答案為（$\sqrt{13}$-1）cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理，勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，屬于中考填空題中的壓軸題．