Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

Answer 1

分析 如圖，過D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE=DE，OA=CD=1，設(shè)OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長(zhǎng)度，也就求出了D的坐標(biāo)．

解答 解：如圖，過D作DF⊥AF于F，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），
∴AO=1，AB=3，
根據(jù)折疊可知：CD=OA，
而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，
設(shè)OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE²=DE²+CD²，
∴（3-x）²=x²+1²，
∴x=$\frac{4}{3}$．
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
∴AE=CE=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EO}{DF}$=$\frac{AO}{AF}$，即$\frac{\frac{5}{3}}{3}$=$\frac{\frac{4}{3}}{DF}$=$\frac{1}{AF}$．
∴DF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{9}{5}$．
∴OF=$\frac{9}{5}$-1=$\frac{4}{5}$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
故答案為：（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圖形的折疊問題，也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．