Question

4．如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，將一塊三角板AHP中含45°角的頂點放在點A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊AP所在的直線交直線BC于點D，直角邊AH所在的直線交直線BC于點E．
（1）在線段BC上取一點M，連接AM，若AD平分∠BAM，求證：AE平分∠MAC；
（2）如圖1當0°＜α≤45°時，求證：BD²+CE²=DE²；
（3）繼續(xù)旋轉三角板，當45°＜α＜135°且α≠90°時，等量關系BD²+CE²=DE²仍然成立，現(xiàn)請你繼續(xù)探究：當135°＜α＜180°時（如圖2），等量關系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立．說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據平分線的定義證明即可；
（2）應用折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中應用勾股定理而證明．
（3）當135°＜α＜180°時，等量關系BD²+CE2=DE²仍然成立．可以根據（2）的方法進行證明即可．

解答 證明：（1）∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=90°-45°=45°，∠DAM+∠MAE=45°，
∵AD平分∠BAM，
∴∠BAD=∠DAM，
∴∠MAE=∠EAC，
∴AE平分∠MAC；
（2）將△ABD沿AD對折得到△AFD，連接EF，

由對折可得：∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．       
（3）當135°＜α＜180°時，等量關系BD²+CE²=DE²仍然成立，
 如圖2，設AB與EF相交于點G．

∵將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，
∴AF=AC．
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
∴∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°．
∴∠DFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

點評 本題考查了角平分線的定義，旋轉的性質，折疊對稱的性質，全等三角形的判定和性質等知識點，關鍵是根據折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC．