Question

15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于關(guān)于原點(diǎn)對稱的A，B兩點(diǎn)，已知A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將直線y=-$\frac{1}{2}$x向上平移后與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)C，如果△ABC的面積為48，求平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）將y=3代入一次函數(shù)解析式中，求出x的值，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）平移后直線于y軸交于點(diǎn)F，連接AF、BF，設(shè)平移后的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，由平行線的性質(zhì)可得出S_△ABC=S_△ABF，結(jié)合正、反比例函數(shù)的對稱性以及點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得出關(guān)于b的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x中y=3，則3=-$\frac{1}{2}$x，
解得：x=-6，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，3）．
∵點(diǎn)A（-6，3）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=-6×3=-18，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{18}{x}$．
（2）設(shè)平移后直線于y軸交于點(diǎn)F，連接AF、BF如圖所示．
設(shè)平移后的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵該直線平行直線AB，
∴S_△ABC=S_△ABF，
∵△ABC的面積為48，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$OF•（x_B-x_A）=48，
由對稱性可知：x_B=-x_A，
∵x_A=-6，
∴x_B=6，
∴$\frac{1}{2}$b×12=48，
∴b=8．
∴平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x+8．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．三角形的面積公式以及平行線間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）找出關(guān)于b的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用面積法要比找相似三角形簡單明了的多．