Question

9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作⊙O的切線與CD長線交于點F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3．求：
（1）AB的長度；
（2）tan∠ECB的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，過點O作OH⊥CD垂足為H，則CH=HD，由△OHE∽△FAE，得$\frac{HE}{OE}$=$\frac{AE}{EF}$求出EF=$\frac{2{a}^{2}}{k}$，由CE•ED=BE•AE求出k、a關(guān)系，得EF=10k，得到DE=DC，得△DEA、△BCE都是等腰三角形，在RT△ABC中利用勾股定理即可解決問題．
（2）根據(jù)tan∠ECB=tan∠AEF=$\frac{AF}{AE}$，求出AF、AE即可．

解答 解：（1）設(shè)CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，
過點O作OH⊥CD垂足為H，則CH=HD，
∴EH=0.5k，OE=0.5a，
∵AF是切線，
∴∠FAE=90°=∠OHE，
∵∠OEH=∠FEA，
∴△OHE∽△FAE，
∴$\frac{HE}{OE}$=$\frac{AE}{EF}$即$\frac{0.5k}{0.5a}$=$\frac{2a}{EF}$，
∴EF=$\frac{2{a}^{2}}{k}$，
∵CE•ED=BE•AE，
∴6k•5k=3a•2a，
∴a²=5k²，
∴EF=10k，
∴點D是EF中點，
∴AD=ED=DF=5k，
∴△DEA、△BCE都是等腰三角形，
∴BC=BE=3a，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC²+AC²=AB²，
∴（3a）²+8²=（5a）²，
∴a=2，
∴AB=5a=10．
（2）∵a=2，
∴k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AF²=DF•FC=80k²=64，
∴AF=8，
∴tan∠ECB=tan∠AEF=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{8}{4}$=2．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)兩個參數(shù)，想辦法求出EF的長，發(fā)現(xiàn)點D是EF中點這個突破口，題目比較難，屬于中考壓軸題．