Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，連結(jié)AE，∠AEB=∠C，且cos∠C=

2

5

，若AD=1，則AE的長是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，先求得四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形EGFH是矩形，從而求得FC=AD=1，GE=FH，由cos∠C=

2

5

求得CH，然后根據(jù)勾股定理求得FH，最后根據(jù)cos∠AEB=

2

5

即可求得AE的長．

解答：解：作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，
∵AD∥BC，BE⊥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，F(xiàn)H⊥DC，AF⊥BE，
∴FC=AD=1，∠FHC=90°，∠AG，E=90°，
∵cos∠C=

HC

FC

=

2

5

，
∴HC=

2

5

，
∴FH=

FC2-HC2

=

21

5

，
∵FH⊥DC，AF⊥BE，BE⊥CD，
∴四邊形EGFH是矩形，
∴GE=FH=

21

5

，
∴cos∠AEB=

GE

AE

，
∵∠AEB=∠C，且cos∠C=

2

5

，
∴cos∠AEB=

GE

AE

=

2

5

，
∴AE=

5GE

2

=

5× 21 5

2

=

21

2

．
故答案為

21

2

．

點(diǎn)評：本題考查了梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形等，作出輔助線關(guān)鍵直角三角形、平行四邊形、矩形是本題的關(guān)鍵．