Question

3．如圖，菱形ABCD的邊長為1，BD=1，E、F分別是邊AD、CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=1，設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 利用菱形的性質(zhì)和正三角形的特點可證得△BDE≌△BCF；繼而可得△BEF為正三角形，然后作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)成直角三角形，根據(jù)直角三角形的特點和三角函數(shù)進(jìn)行計算即可求得答案．

解答 解：菱形ABCD的邊長為1，BD=1，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=1，而AE+CF=1，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；
設(shè)BE=BF=EF=x，
則S=$\frac{1}{2}$•x•x•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
當(dāng)BE⊥AD時，x最小為：1×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_最小=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$，
當(dāng)BE與AB重合時，x最大，
∵菱形ABCD的邊長為1，
∴AB=1，
∴x最大為1，
∴S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{16}$≤s≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積問題．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．